Montecarlo

Les options européennes

Notre petit jeu du post précédent ressemble à des options de type européennes, ces options payent la performance d'une action si cette performance est positive.
Pourquoi européennes ? Car il existe plusieurs types d'options : Américaines, Asiatiques, Bermudéennes. Nous verrons peut-être la différence une autre fois.

Alors quel est le prix de ce petit jeu ? pour le savoir il faut connaitre combien on a de chances d'arriver à chaque résultat. Pour connaitre ce nombre de chances il faut compter le nombre de chemins qui y mènent et diviser par le nombre total de chemins.

La solution

Par exemple pour arriver au résultat +5, il n'y a qu'un seul chemin : pile pile pile pile pile (on va résumer par PPPPP).
Pour le résultat +3, il y'en a beaucoup plus : PPPPF, PPPFP, PPFPP, PFPPP, FPPPP nous avons donc 5 fois plus de chances de finir sur +3 que sur +5.
Pour le résultat +1, il y a 10 chemins (là je vous demande de me croire :))
Pour les résultats négatifs c'est la même chose (on a autant de chance que la pièce soit pile que face !)
Donc -1 : 10 chemins, -3 : 5 chemins, -5 : 1 chemins
Soit un total de 32 chemins

Donc nous avons 1/32 chances de faire +5, 5/32 chances de faire +3, 10/32 chances de faire +1, etc...
Si on multiplie chacune de ces probabilités avec ce que ces chemins rapportent cela nous donne :
1/32*5 + 5/32*3 + 10/32*1 + 10/32*0 + 5/32*0 + 10/32*0
Pourquoi multiplier par 0 les derniers termes ? car si le compteur est négatif, on ne gagne rien !
Donc nous avons : 0.9375
Ce chiffre correspond à la vrai valeur de ce jeu d'un point de vue neutre par rapport au risque.
Donc si on vous propose 1 euro pour jouer vous pouvez vous dire que c'est un peu cher. Certes vous pouvez gagner 5 euro, mais vous avez beaucoup plus de chance de ne rien gagner du tout !

On augmente le nombre de lancer !

Maintenant supposons que notre jeu continue et que plutôt que de faire 5 lancers, nous en faisons 100.
Compter tous les chemins devient impossible... si vous pouviez compter un milliard de chemins par seconde (une performance digne d'un supercalculateur) il vous faudrait environ 40 milliards d’années... hum... on va peut être utiliser une autre méthode !!!
La méthode que je vais vous proposer est loin d’être la meilleure car notre problème peut se résoudre très simplement par une analyse mathématique plus poussée. Mais c'est une méthode très générale qui est massivement utilisée en finance.
Plutôt que de compter tous les lancers, il suffit de jouer à ce jeu un certains nombre de fois et de faire la moyenne de nos gains. Si vous jouez 100 fois à un jeu et que vous constatez que vous gagnez en moyenne 5 euros, alors vous pouvez faire l'approximation que ce jeu vaut 5 euros. C'est la méthode de MonteCarlo (la légende veut que l'inventeur de la méthode ci dessus avait un oncle accroc au casino).

Donc pour utiliser cette méthode soit vous lancez 100000 fois votre pièce (attention à ne pas perdre le compte ! Sinon il y a un biais dans le calcul et il faut tout recommencer !), ou alors vous laissez le soin à un logiciel de faire les lancer.
Pour cela le plus simple c'est un tableur, comme Excel ou celui fournit dans la suite OpenOffice.
Pour faire un lancer il suffit de tirer un nombre aléatoire :
pour Excel en français c'est :
=ALEA()
Cela nous renvoi un nombre aléatoire entre 0 et 1. Nous voulons un pile ou un face. C'est à dire 0 ou 1.
Puisqu'on a autant de chance d'avoir pile ou face, et qu'il y'a autant de chance que notre nombre aléatoire soit plus petit ou plus grand que 0.5, nous pouvons faire cela :
=SI(ALEA()<0.5,0,1)
maintenant que vous pouvez lancer une pièce avec Excel, vous pouvez créer votre compteur par dessus puis étendre votre formule sur autant de cases que nécessaire !
Attention tout de même car Excel c'est simple, mais c'est pas efficace, 10000 chemins avec 100 lancers chacun ça vous fait 1 000 000 cellules à calculer et à stocker, vous allez vite le mettre à genoux ! Donc quelques précautions à prendre :

• Sauvegarder
• Désactiver le calcul automatique dans outils->option (gros bouton en haut à gauche sur les nouveaux Excel) Pour calculer faites F9
• Sauvegarder souvent  (vous allez faire planter Excel)
• Allez y petit à petit (1000 chemins du premier coup c'est pas une bonne idée)
• Sauvegarder très souvent  (Excel fini toujours par planter)
• Utiliser un maximum les possibilités des formules d'Excel pour pouvoir étendre simplement vos formules et passer de 5 a 1000 chemins en un rien de temps ! (enfin, sauf pour les calculs...)

Rendez vous la prochaine fois pour la solution ! (Et peut être le fichier Excel si je trouve un moyen de le stocker)