La méthode de Monte-Carlo c'est bien, ça donne un résultat mais c'est pas précis, et quand on augmente le nombre de chemins, la précision n'augmente pas beaucoup !
Si vous avez bien fait votre Monte-Carlo vous devriez trouver un résultat autour de 4.
Sur le graphique ci dessous, l'abscisse correspond au nombre de chemins, la courbe bleue à la moyenne des résultats de mes chemins, les courbes rouge et verte encadrent ma moyenne et m'indiquent que j'ai 95% de chance que la vraie valeur de ce jeu soit dans ces bornes. Au bout de 1000 chemins testés, j'ai encore 0.8 d’écart entre cette borne haute et basse, c'est énorme.
Il existe différentes techniques pour accélérer la convergence d'un Monte Carlo, mais nous ne les aborderons pas aujourd'hui.
Vous pouvez trouver mon fichier excel ici : MonteCarlo
Arbre binomial
Ce que je vous propose c'est d'opter pour une technique totalement différente.
La première étape est de faire le constat que seule la valeur finale de notre compteur est importante pour que le joueur sache combien il a gagné. Les valeurs intermédiaires ne sont pas importantes, le résultat ne dépend pas du chemin parcouru par notre compteur.
Nous allons prendre notre problème à l'envers et commencer par la fin...
Réduisons notre jeu à 3 lancers pour y voir plus clair, les valeurs finales possibles sont -3, -1, 1 et 3.
Si après le 2eme lancer notre compteur est à -2, nous savons que nous n'avons aucune chance de gagner quoi que ce soit, car nous finirons soit à -3 soit à -1, donc notre résultat sera forcement 0. Nous pouvons donc dire que le prix du jeu au bout de 2 lancers si notre compteur arrive à -2 est 0. On peut arrêter de jouer, ça sert plus à rien.
Par contre si après le 2eme lancer nous sommes à 0, les choses sont plus intéressantes, on a une chance sur 2 de gagner 1euro. Comme nous l'avons vu dans le premier post, la valeur que nous sommes prêt à payer pour avoir 1/2 chance de gagner 1 euro, c'est 0.5euros. Donc si notre compteur est á 0 au deuxième lancer, notre jeu vaut 0.5 euro. Si on arrête de jouer, on perd en moyenne 0.5 euro.
Voyons le dernier cas, si notre compteur est á 2, alors on est sûr de gagner quelque chose, soit 3 soit 1. une demi chance de gagner 3, une demi chance de gagner 1, le jeu vaut donc en moyenne 2.
pour résumer apres le 2eme lancer :
si on est à -2 le jeu vaut 0
si on est à 0 le jeu vaut 0.5
si on est à 2 le jeu vaut 2
Maintenant voyons ce qui se passe après le 1er lancer, notre compteur est soit à 1 soit à -1.
s'il est à -1, alors on a une chance sur deux qu'il passe à -2 et que le jeu perde toute valeur, et une chance sur deux que le compteur passe à 0 et que le jeu vaille 0.5. donc si apres le 1er lancer notre compteur vaut -1, alors notre jeu vaut 0.25.
S'il est a 1, alors 1/2 chance de passer à 0 (oú le jeu vaut 0.5), 1/2 chance de passer à 2 (oú le jeu vaut 2), donc notre jeu vaut 1.25.
Nous arrivons au début du jeu et en suivant la même logique nous déduisons la valeur du jeu : 0.75euro
Pour résumer : (en bleu le compteur, en rouge le prix)
Pour savoir cela nous devons connaitre le nombre d’opérations à effectuer. On fait une opération à chaque fois que l'on fait la moyenne de deux prix.
Si N est notre nombre de lancers, nous avons N+1 opérations à faire pour faire la première étape (les calculs lors du dernier lancer) puis N, puis N-1, puis N-2, etc... jusqu’à 1.
Or la somme de (N+1)+N+(N-1)+(N-2)+...+1 ça fait (N+1)*N/2
Donc pour 100 lancers : 5050 opérations c'est à dire quasiment rien.
La solution exacte arrive...
Vous allez donc pouvoir tester cet algorithme sur Excel pour passer d'une solution approximative lente à calculer (MonteCarlo) à la solution exacte rapide à calculer !
Cette méthode semble idéale, mais elle a quelques problèmes dans le cas général...
Premièrement, l'algo peut nous trouver la solution exacte car nous sommes dans un cas simple: une pièce de monnaie ne prend que 2 valeurs. En finance la valeur d'une action peut prendre une infinité de valeurs ! Si nous voulons y utiliser cet algo, il faut supposer que le prix d'une action ne peux prendre qu'un nombre fini de valeur ! cela introduit une approximation et donc une erreur !
Deuxièmement, la méthode n'est utilisable que si le résultat final ne dépend pas du chemin pris par notre compteur. Nous verrons cette limitation dans un prochain exercice !
Il y a d'autre probleme qui se pose sous certaines conditions, mais on verra ça plus tard !
A vos Excel, vous devez maintenant pouvoir sortir la vraie valeur de ce jeu !
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